Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio urti 3

Urti in Meccanica classica

Home » Esercizio urti 3

L’Esercizio Urti 3 è il terzo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 2. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 4. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 3

Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo puntiforme si muove lungo un’asse orizzontale. All’istante t=0 [s] esso passa nell’origine con velocità v_0=3.317 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right] diretta verso le x positive. Per t>0 [s] il corpo è sottoposto a un’accelerazione a(x)=-5x\,\left[\dfrac{1}{\text{s}^2}\right]-3\,\left[\dfrac{\text{m}}{s}^2\right].
Calcolare:

a) dove si ferma.

Se durante il moto nella posizione x=0.4 [m], il corpo ne urta uno eguale e fermo e vi rimane attaccato, calcolare:

b) la velocità del sistema subito dopo l’urto.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: traiettoria di un corpo puntiforme soggetto ad accelerazione variabile e urto in x = 0.4 m.

Svolgimento.

Si osserva che, una volta superata l’origine O, e dunque il punto x_0=0 [m], il moto è soggetto ad un’accelerazione negativa non costante, ma dipendente dalla posizione stessa del corpo; non è possibile pertanto adoperare le leggi del moto uniformemente accelerato. Al fine di risolvere il punto a) del problema, in particolare, siamo interessati a determinare il punto in cui il corpo puntiforme in esame si ferma, ossia in cui la sua velocità sarà nulla. Iniziamo osservando che partendo dalla definizione di accelerazione, ossia a=\dfrac{dv}{dt}, è possibile scrivere l’accelerazione anche come

(1) \begin{equation*} a=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v, \end{equation*}

dove si è usato il fatto che la velocità è una funzione composta, in quanto v(x(t)) ha una dipendenza dallo spazio che a sua volta dipende dal tempo, e si è pertanto adoperata la regola di derivazione della funzione composta; nella seconda uguaglianza, si è semplicemente usata la definizione v=\dfrac{dx}{dt}. Siamo in presenza, in definitiva, di una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, che possiamo anche scrivere come

(2) \begin{equation*} a\ dx=v\ dv. \end{equation*}

Inserendo la legge di a(x) presente nel testo ed integrando l’equazione precedente determineremo pertanto

(3) \begin{equation*} \int^{x}_{x_0}(-5x'-3)dx'=\int^v_{v_0} v' dv', \end{equation*}

in cui abbiamo integrato tra il punto di partenza (l’origine O) e il punto di arresto in cui, come già discusso precedentemente, è possibile porre la velocità finale v=0 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right]. Calcolando gli integrali a primo e secondo membro avremo [1].

(4) \begin{equation*} -5\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}\right)-3x+3x_0=-\frac{v_0^2}{2}, \end{equation*}

e sostituendo x_0=0 [m] troveremo facilmente un’equazione di secondo grado completa in x:

(5) \begin{equation*} 5x^2+6x-(v_0)^2=0, \end{equation*}

le cui due soluzioni possono essere trovate calcolando il delta ed applicando la formula risolutiva

(6) \begin{equation*} x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+4\cdot 5(v_0)^2}}{10} [\text{m}]. \end{equation*}

Otterremo  x_1=1.0 [m] e  x_2=-2.2 [m], determinate considerando rispettivamente il segno + e il segno - nell’equazione precedente; naturalmente, poiché è noto nel problema in esame che il corpo prosegue il suo moto verso le x positive, possiamo scartare la soluzione x_2. In definitiva, dunque, il corpo termina il suo moto nel punto

\[\boxcolorato{fisica}{ x=1.0\ [\text{m}],}\]

 

che rappresenta la soluzione al punto a del problema}.

Supponiamo adesso che prima di arrestare il suo moto, ed in particolare nel punto x=0.4 [m], il corpo in esame urti un altro corpo uguale ad esso rimanendovi attaccato, dunque considerando un urto completamente anelastico [2]. In questo caso, non essendoci vincoli di alcun tipo, la quantità di moto del sistema si conserva. Possiamo pertanto considerare l’equazione

(7) \begin{equation*} p_1 + p_2 = p_T, \end{equation*}

dove p_1=m_1v_1 e p_2=m_2v_2 rappresentano le quantità di moto dei due corpi, mentre p_T=(m_1+m_2)v_T indica la quantità di moto del sistema dopo l’urto; etichettiamo per convenienza con 1 le grandezze fisiche riferite al corpo in movimento e con 2 quelle associate al corpo fermo localizzato in x=0.4 [m]. Per quest’ultimo, in particolare, conosciamo dai dati del problema che m_2=m_1, in quanto i due corpi sono uguali, e che v_2=0 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right], in quanto il corpo è fermo. Possiamo dunque riscrivere l’equazione (7) come segue

(8) \begin{equation*} m_1 v_1 = 2m_1v_T, \end{equation*}

e dunque

(9) \begin{equation*} v_T = \frac{v_1}{2}, \end{equation*}

al raddoppiare della massa, dunque, segue un dimezzamento della velocità del sistema. Per ricavare la velocità v_1 è ancora possibile adoperare l’equazione 3, che in questo contesto avrà come soluzione [1].

(10) \begin{equation*} -5\left(\frac{x'^2}{2}\right)-3\cdot x'=\frac{v_1^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}, \end{equation*}

in cui abbiamo etichettato x'=0.4 [m], per maggiore chiarezza, mentre l’estremo superiore dell’integrale a secondo membro dell’equazione (3) diventa v_1, variabile per la quale vogliamo risolvere l’ equazione (10). Otteniamo, isolando v_1^2

(11) \begin{equation*} v_1^2 = (v_0)^2-5(x')^2-6\cdot x'. \end{equation*}

Effettuando i calcoli nell’equazione precedente, si ricava facilmente v_1^2=7.78 \left[\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\right], e cioè v_1\simeq 2.79 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right]. Dato che v_T è la metà di v_1, si ottiene immediatamente

\[\boxcolorato{fisica}{ v_T\simeq 1.4\ \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right],}\]

che rappresenta la soluzione al punto b del problema.

 

 

1. E’ interessante osservare che i termini presenti in entrambi i membri dell’equazione avranno le dimensioni di una velocità al quadrato e dunque, come unità di misura, \left[\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\right]. E’ possibile rendersi conto di questo fatto analizzando l’equazione (2), il cui primo membro ha le dimensioni di un’accelerazione per uno spazio, e dunque \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right]\cdot[\text{m}], mentre il secondo membro è di fatto un prodotto tra velocità, con unità di misura \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right] \cdot \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right].

2. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto.

3. E’ importante osservare che, ancora una volta, tutti i termini presenti in questa equazione hanno le unità di misura del quadrato di una velocità; si rimanda alla spiegazione data come commento all’equazione (4).

 

 

 


Fonte Esercizio.

Esercizio 8.5 del libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 39 esercizi risolti, contenuti in 154 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione degli urti in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document