Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio urti 28

Urti in Meccanica classica

Home » Esercizio urti 28

L’Esercizio Urti 28 è il ventottesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 27. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 29. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 28

Esercizio 28 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un proiettile puntiforme P, di massa m, si muove, con velocità di modulo pari a w, avente direzione orizzontale e giaciente su un piano verticale \Pi. Il proiettile si conficca istantaneamente, rimanendovi attaccato, nel punto A (si veda la figura) di un disco rigido e omogeneo, di massa M e raggio r, incernierato nel punto O, giacente sullo stesso piano verticare \Pi e inizialmente in quite, con b (si veda la figura). Determinare il modulo \omega della velocità angolare del disco subito dopo l’urto in funzione dei parametri m, M, w, b, r e b.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: schematizzazione del problema prima dell’urto (sinistra) e dopo l’urto (destra).

 
 

Richiami teorici.

  1. Ricordiamo la seconda legge cardinale di Eulero

    (1) \begin{equation*} {\frac {\mathrm {d} \vec {L} }{\mathrm {d} t}}=\vec {M}^{(\text{est})} -\vec {v} _{0}\times \vec {p} , \end{equation*}

    in cui \vec {L} è il momento angolare del sistema, \vec {M}^{(\text{est})} è la risultante dei momenti meccanici esterni agenti sul sistema fisico sotto esame, \vec {v}_0 è la velocità del polo e \vec {p} è la quantità di moto totale del sistema.

  2. In generale il momento angolare è definito come momento della quantità di moto

    (2) \begin{equation*} \Vec{L}=m \vec{r} \times \Vec{v}, \end{equation*}

    in cui abbiamo sfruttato la linearità del prodotto vettoriale per portare la costante numerica m fuori dal prodotto vettoriale. Nel caso di un corpo rigido con asse di rotazione fisso, il momento angorale si riscrive come

    (3) \begin{equation*} \vec{L}=I\Vec{\omega}, \end{equation*}

    nel quale I è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.

  3. Il teorema di Huygens-Steiner, noto anche come teorema degli assi paralleli, è un principio fondamentale nella meccanica classica che descrive il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse parallelo a un asse che passa per il centro di massa del corpo. \newline Il teorema afferma che il momento d’inerzia I di un corpo rigido rispetto a un asse A parallelo a un asse che passa per il centro di massa C è dato dalla somma del momento d’inerzia I_C rispetto all’asse che passa per il centro di massa e il prodotto della massa totale M del corpo e il quadrato della distanza d tra i due assi. In formuile:

    (4) \begin{equation*} I = I_C + Md^2. \end{equation*}

Svolgimento.

Consideriamo il disco e il proiettile come sistema fisico in esame e scegliamo il sistema di riferimento Oxyz con asse z uscente dal piano del foglio, come mostrato in figura 2.    

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: rappresentazione della velocità del centro di masas.

    Scegliamo il polo fisso O, rappresentato in figura 1, per il calcolo dei momenti esterni del sistema fisico in esame. Notiamo che l’unica forza esterna agente sul sistema fisico durante l’urto, di natura impulsiva, è applicata proprio in O. Pertanto, la somma dei momenti esterni agenti sul sistema è nulla. Inoltre, essendo il polo O fisso, si ha \vec{v}_0 \times \vec{p} = \vec{0}.

Dall’equazione (1), segue che

(5) \begin{equation*} \boxed{ {\frac {\mathrm {d} \vec {L} }{\mathrm {d} t}}=0,} \end{equation*}

ossia che il momento angolare del sistema è conservato durante l’urto. Inoltre, data la scelta del sistema di riferimento come in figura 2, l’unica componente non nulla del momento angolare è lungo l’asse z; chiamiamo questa componente semplicemente L, chiamiamo L_i la componente lungo z del momento angolare del sistema subito prima dell’urto e L_f la componente lungo z del momento angolare del sistema subito dopo dell’urto. Poiché durante l’urto si conserva il momento angolare, è necessario che

(6) \begin{equation*} L_i=L_f. \end{equation*}

Calcoliamo, quindi, il momento angolare iniziale (immediatamente prima a quando il proiettile si conficca nel disco) e il momento angolare finale (subito dopo che il proiettile si è conficcato nel disco). Immediatamente prima dell’urto tra proiettile e disco, il disco è in quiete e pertanto il suo momento angolare è nullo; ne consegue che il momento angolare totale è dato solo dal momento angolare del proiettile che si muove con velocità \vec{w}, cioè

(7) \begin{equation*} \boxed{L_i=mwb,} \end{equation*}

dove w è il modulo della velocità \vec{w}.\newline Per quanto riguarda il momento angolare finale, questo è dato dal mometo angolare del disco (addesso in movimento) e il momento angolare del proiettile conficcato nel punto A

(8) \begin{equation*} \boxed{L_{f}=\underbrace{\bigg(\frac{1}{2}Mr^2+Mb^2\bigg)\omega}_{L_f^{(\text{disco})}}+\underbrace{m(r^2+b^2)\omega}_{L_f^{(\text{proiettile})}}.} \end{equation*}

Nel calcolo del momento angolare finale del disco L_f^{(\text{disco})} abbiamo utilizzato il teorema di Huygens-Steiner per determinare il momento di inerzia del disco rispetto ad un asse non passante per il centro di massa del disco (ossia l’asse passante per O, mentre il centro di massa è dato dal punto C, poichè il disco è omogeneo). Per il calcolo del momento angolare finale del proiettile L_f^{(\text{proiettile})}, abbiamo usato il teorema di Pitagora per determinare la distanza tra il proiettile, conficcato in A, e il punto O.\\ Eguagliando le due espressioni del momento angolare, che deve essere constante, otteniamo

(9) \begin{equation*} L_i=L_f \ \ \Rightarrow \ \ mwb=\bigg(\frac{1}{2}Mr^2+Mb^2\bigg)\omega+m(r^2+b^2)\omega, \end{equation*}

da cui ricaviamo la velocità angolare dopo l’urto

\[\boxcolorato{fisica}{\omega =\frac{mwb}{\dfrac{1}{2}Mr^2+Mb^2+m(r^2+b^2)}.}\]

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 39 esercizi risolti, contenuti in 154 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione degli urti in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document