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Somma di una serie di potenze – Esercizio 12

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 12

Benvenuti nell’articolo 12 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 11 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 13 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 12

Esercizio 12.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1) \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}. \end{equation*}

Svolgimento.

Riscriviamo (1) come segue

(2) \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n!}}_{\mathcal{S}_1}+2\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Si ricorda che

(3) \begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}=1+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}. Sostituendo x=1 in (3) si ottiene \mathcal{S}_2, cioè \mathcal{S}_2=e-1. Derivando ambo i membri di (3) si ottiene

(4) \begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}=0+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}, \end{equation*}

e derivando ambo i membri di (4) si giunge al seguente risultato

(5) \begin{equation*} e^x=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2x^{n-2}}{n!}-\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-2}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2\,x^{n-2}}{n!}-\dfrac{1}{x}\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}}_{=e^x }=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2\,x^{n-2}}{n!}-\dfrac{e^x}{x} \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato (4); ponendo x=1 in (5) si giunge alla seguente relazione

(6) \begin{equation*} e=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n!}}_{\mathcal{S}_1}-e=\mathcal{S}_1-e\quad \Leftrightarrow\quad \mathcal{S}_1=2e. \end{equation*}

Sostituendo \mathcal{S}_1 e \mathcal{S}_2 in (2) si ottiene

\[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}=2e+2e-2=4e-2.}\]

 

Fonte.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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