Esercizio moti relativi 15

(1)

Nell’equazione (3):

• è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
• è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
• , dove la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e il vettore posizione di rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
• è la forza centrifuga, dove ;
• è la forza di Coriolis, dove , essendo la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
• è l’accelerazione relativa di nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)

Considerando il sistema non inerziale : su agiscono la forza peso e la reazione vincolare , che ha stesso modulo e direzione di , ma verso opposto, e la forza d’attrito dinamico ( rappresenta il versore dell’asse che è lo stesso dell’asse delle perché ), opposta al moto della massa . Poiché il sistema è un sistema non inerziale che si muove con accelerazione , occorre considerare anche la forza apparente (visibile in figura 2) , opposta alla direzione del moto di . Per la seconda legge della dinamica abbiamo

(3)

dove abbiamo indicato con l’accelerazione della massa . Ricordando che , dal sistema (3), otteniamo

(4)

o anche

(5)

Studiamo le forze agenti sulla massa dal sistema di riferimento fisso . Le forze agenti lungo l’asse sono la forza peso e la reazione vincolare del piano orizzontale . Lungo l’asse si hanno la forza d’attrito dinamico , opposta al moto della massa e la forza , la quale esiste come conseguenza della terza legge della dinamica applicata alla forza , avente modulo e direzione uguali al vettore , ma verso opposto. Per la seconda legge della dinamica abbiamo

(6)

Ricordando che e sfruttando quanto ottenuto in precedenza, ovvero che , dal sistema (6) otteniamo

(7)

da cui

(8)

Sostituendo (calcolata nell’equazione (8)) nell’equazione (6), otteniamo

(9)

Osservando che, nel sistema di riferimento scelto, il moto di è un moto uniformemente decelerato, possiamo ricavare lo spazio percorso prima di fermarsi usando l’opportuna equazione cinematica, ovvero

(10)

dove si è indicato con lo spazio percorso prima di raggiungere la velocità finale nulla. Possiamo a questo punto ricavare esplicitamente , cioè

Da qui in poi non c’è più movimento relativo tra e , in altri termini si può pensare il corpo composto da come un unico corpo di massa . Per risolvere il punto successivo, osserviamo anzitutto che è possibile determinare, con i dati a nostra disposizione, la distanza percorsa dal blocco di massa quando la massa si è fermata. Per far questo, possiamo intanto ricavare il tempo di arresto di dall’equazione cinematica che lega velocità, accelerazione e tempo, cioè

(11)

da cui

(12)

A tale tempo appena determinato, dunque, la massa avrà percorso lo spazio

(13)

Osserviamo inoltre che, superato tale spazio , le due masse possono essere considerate come un unico blocco di massa , poiché la massa rimane ferma rispetto al sistema di riferimento solidale con . Consideriamo adesso lo spostamento avvenuto nel sistema di riferimento fisso, come illustrato in figura 2.

Osserviamo che sul sistema, a questo punto, le uniche forze esterne sono rappresentate dalla reazione vincolare , agente lungo la direzione e la forza d’attrito radente dinamica agente invece lungo , ed opposta allo spostamento del sistema. L’equazione del moto per la massa può allora essere scritta come segue:

(14)

dove abbiamo denotato con la nuova accelerazione del sistema. Quest’ultima può essere ricavata facilmente, e vale

(15)

Possiamo adesso ricavare lo spazio percorso da prima di fermarsi, risolvendo ancora il problema cinematico del corpo uniformemente accelerato, rappresentato dalla seguente equazione:

(16)

dove abbiamo indicato con la velocità che il sistema possiede all’istante di tempo . Quest’ultima si ricava ancora usando l’equazione della cinematica seguente

Possiamo dunque esplicitare , ottenendo

(17)

Si ha dunque che lo spazio totale percorso dalla massa è dato da

con e dati rispettivamente dalle eq. (13) e (17. Per determinare l’energia dissipata dal sistema, consideriamo il teorema delle forze vive. Nel problema analizzato, le uniche forze che effettuano lavoro sono le forze d’attrito, ed in effetti l’energia viene dissipata totalmente dalle forze d’attrito stesse; il teorema sopracitato si scrive pertanto:

dove abbiamo indicato con il lavoro totale delle forze d’attrito, mentre è l’energia cinetica iniziale, tutta riferita alla massa , l’unica ad avere velocità all’inizio del percorso (l’energia cinetica finale è nulla, dato che il sistema si ferma al termine del percorso stesso). L’energia dissipata è

• Cinematica del punto materiale.
• Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
• Moti relativi.
• Sistemi di punti materiali.
• Dinamica del corpo rigido.
• Urti .
• Gravitazione .
• Oscillazioni e onde.
• Meccanica dei fluidi.
• Onde meccaniche.
• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.