Esercizio sui sistemi di punti materiali 13 rappresenta il tredicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 12, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 14.
Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.
L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.
Testo esercizio sistemi di punti materiali 13
Esercizio 13 . Un oggetto di massa
viene appoggiato su un piano metallico di massa
, sostenuto da una molla ideale di massa trascurabile, lunghezza a riposo
e costante elastica
. Si comprime, con un’opportuna forza esterna, la molla di una lunghezza
rispetto alla lunghezza di riposo. Successivamente il sistema vine rilasciato e per via della forza esercitata dalla molla risale verso l’alto. Si richiede di calcolare il massimo valore
di
affinché l’oggetto rimanga aderente al piatto.
Premessa.
Svolgimento.
Per completezza, facciamo notare che, le forze e
sono forze interne, mentre le forze
,
e
sono forze esterne.
Dal secondo principio della dinamica, per
ed
, si ha rispettivamente
(1)
dove e
sono rispettivamente l’accelerazione di
ed
.
La configurazione del sistema in esame è tale che i corpi
e
sono vincolati a muoversi l’uno sull’altro in maniera sincrona con la stessa accelerazione, pertanto
(2)
Utilizzando l’equazione (2) nel sistema (1), si ottiene
(3)
da cui
(4)
ovvero
(5)
(6)
Affinché i corpi e
siano in contatto tra di loro deve valere
(7)
dove abbiamo usato l’equazione (6). Quindi fintantoché , i due corpi sono in contatto tra di loro, viceversa se
. Pertanto il valore limite dove i due corpi sono sul punto di perdere il contatto è
.
Metodo 1.
(8)
Come detto in precedenza, è quell’allungamento tale per cui i due corpi arrivati in
non si devono distaccare l’uno dall’altro, e questo in termini fisici vuol dire che in corrispondenza di
il sistema deve avere velocità nulla, per cui l’energia cinetica totale in tale istante è nulla. Dunque, l’energia meccanica totale
del sistema alla quota
(si veda la figura 3) è nulla, ossia
(9)
Dalla conservazione dell’energia meccanica, segue che
(10)
da cui, utilizzando le equazioni (8) e (9), la precedente equazione diventa
(11)
Dalla precedente equazione, si ha
(12)
ossia
Metodo 2.
(13)
(14)
da cui
(15)
(16)
In virtù delle equazioni (14) e (16), l’equazione (13) può essere riscritta come
(17)
dove . L’equazione (17) è l’equazione di un oscillatore armonico semplice. La precedente equazione ha soluzione
(18)
dove e
sono rispettivamente l’ampiezza massima e la fase iniziale del moto. Ricordando il legame tra
e
dato dall’equazione (14), l’equazione (18) diventa
(19)
All’istante iniziale la molla è compressa di
, ed il sistema è inizialmente in quiete, ossia
(20)
Dal seconda equazione del sistema (20), ricaviamo che la fase iniziale del moto è pari ad
(21)
che sostituita nella prima equazione dello stesso sistema dà
(22)
Sfruttando le equazioni (22) e (21) possiamo riscrivere l’equazione (19) come
(23)
ovvero usando , la precedente equazione diventa
(24)
Derivando rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, troviamo
(25)
Arrivato alla quota il sistema deve avere velocità nulla, per poi invertire il suo moto e tornare indietro. Pertanto imponiamo
(26)
che ha come soluzione
(27)
Chiaramente l’equazione (26) ha infinite soluzioni, essendo la funzione periodica, ma a noi quello che serve è il primo tempo
che la verifica, e quindi abbiamo scartato le altre soluzioni. Come detto, dobbiamo trovare la quota
tale per cui il sistema arrivi in
con velocità nulla, sappiamo che questo avviene al tempo
, che sostituito nell’equazione (24) ci dà
(28)
o anche
Analogamente potevamo procedere osservando che dall’equazione (6), sostituendo (calcolata nell’equazione (24)), otteniamo
(29)
che sostituendo diventa
(30)
in accordo con quanto calcolato precedentemente.
Osservazione.
(31)
Il sistema precedente rappresenta il sistema posto nella posizione di equilibrio statico. Dal precedente sistema, sommando membro a membro le due equazione dello stesso, si trova
(32)
oppure
(33)
Il valore rappresenta la posizione di equilibrio del sistema e quando esso si muove di moto armonico oscilla rispetto a tale punto.
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